Notiz über die Linearisierung endlicher abelscher Gruppen
Note on the linearisation of finite abelian groups
Note sur la linéarisation des groupes abéliens finis
Résumé
If $K$ is a field with enough roots of unity and $V$ an abelian group, the $K$-algebra $K[V]$ of the group $V$ is split semisimple, so that the canonical morphism $K[V]\to K^{V^\sharp}$, where $V^\sharp$ denotes the dual group of $V$ (which may be seen as $\Hom(V,K^\times)$), is an isomorphism of $K$-algebras. If one removes the assumption that $K$ has enough roots of unity, one can easily deduce from it (by using a base change and Krull-Schmidt) that it remains a $K$-linear isomorphism $K[V]\xrightarrow{\simeq} K^{V^\sharp}$ natural in the group $V$ if one restricts to finite groups $V$ canceled by a fixed nonzero integer. The question of whether such an isomorphism, natural in the abelian group $V$, still exists without any other restriction than $V$ is finite and its order is invertible in $K$, is less obvious; we solve it positively, in a somewhat more general setting ($K$ being any commutative ring), by using Gauss sums. We also explore some related functorial questions.
Si K est un corps commutatif possédant assez de racines de l'unité et V un groupe abélien fini, la K-algèbre K[V] du groupe V est semisimple déployée, de sorte que le morphisme canonique K[V]->K^{V♯}, où V ♯ désigne le groupe dual de V est un isomorphisme de K-algèbres. Si l'on supprime l'hypothèse que K contient assez de racines de l'unité, on peut en déduire facilement (en utilisant une extension des scalaires et Krull-Schmidt) qu'il demeure un isomorphisme, cette fois-ci seulement K-linéaire, K[V]->K^{V♯} naturel en le groupe V si l'on impose à l'avance que V est annulé par un entier non nul fixé. La question de savoir s'il existe un tel isomorphisme naturel en le groupe abélien V , sans d'autre restriction que V fini et d'ordre inversible dans K, est moins évidente ; nous la résolvons ici positivement, dans un cas un peu plus général (K étant un anneau commutatif quelconque), en utilisant des sommes de Gauß. Nous explorons également quelques questions fonctorielles reliées.
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