Quadratic obstructions to small-time local controllability for multi-input systems
Obstructions quadratiques à la contrôlabilité locale en temps petit pour les systèmes multi-contrôlés
Résumé
We present a necessary condition for the small-time local controllability of multi-input control-affine systems on $R^d$. This condition is formulated on the vectors of $R^d$ resulting from the evaluation at zero of the Lie brackets of the vector fields: it involves both their direction and their amplitude. The proof is an adaptation to the multi-input case of a general method introduced by Beauchard and Marbach in the single-input case. It relies on a Magnus-type representation formula: the state is approximated by a linear combination of the evaluation at zero of the Lie brackets of the vector fields, whose coefficients are functionals of the time and the controls. Finally, obstructions to small-time local controllability result from interpolation inequalities.
Nous présentons une condition nécessaire pour la contrôlabilité locale en temps petit des systèmes affines multi-contrôlés sur $R^d$ . Cette condition est formulée sur des vecteurs de $R^d$ résultant de l'évaluation en zéro des crochets de Lie des champs de vecteurs : elle implique à la fois leur direction et leur amplitude. La preuve est une adaptation au cas à deux contrôles d'une méthode générale introduite par Beauchard et Marbach dans le cas mono-entrée. Elle repose sur une formule de représentation de type Magnus : l'état est approximé par une combinaison linéaire de l'évaluation en zéro des crochets de Lie des champs de vecteurs, dont les coefficients sont des fonctionnelles du temps et des contrôles. Enfin, les obstacles à la contrôlabilité locale en temps petit résultent d'inégalités d'interpolation.
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Quadratic obstructions to STLC for multi-input systems.pdf (738.98 Ko)
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